L'équation de sine-Gordon
où les indices indiquent des dérivées par rapport
au temps ou à l'espace est un bon modèle pour décrire des dislocations
dans un réseau atomique unidimensionnel (modèle de Frenkel-Kontorova).
La partie propagative 
provient de l'interaction
entre proches voisins dans la chaîne atomique et le terme 
est
lié à la présence d'un substrat dans lequel évoluent les atomes.
D'un autre point de vue l'équation (1) est typique de la propagation
d'une onde électromagnétique dans un milieu non-linéaire où le
d'Alembertien provient naturellement des équations de Maxwell et le
-ou plus généralement 
- d'une équation constitutive
du matériau. C'est le cas pour les jonctions Josephson entre
supraconducteurs,
ou les cristaux liquides. D'un point de vue mécanique l'équation (1)
décrit un ensemble de pendules, 
couplés en
torsion par le terme 
.
Singularités Lagrangiennes
Ce modèle important par ses applications est intégrable et peut être
considéré comme un système Hamiltonien à nombre infini de degrés
de liberté avec une infinité d'intégrales premières. Il a des
solutions particulières exactes qui correspondent à des ``tours'' des
pendules
(kinks) ou à des oscillations d'angle inférieur à 
(breather). Ces solutions
peuvent être décrites par une méthode variationnelle due à Witham,
dans laquelle elles sont écrites sous la forme
sans dépendance explicite du temps, où les
sont des paramètres. Une telle description du ``breather'' avec une
coordonnée d'amplitude 
et une coordonnée de largeur 
donne lieu à une équation pour qui est inconsistante lorsque
. L'équation d'évolution pour est obtenue par projection
de (1) sur le vecteur 
et il
se trouve que
est nul lorsque [4]. Cette
situation qui se retrouve pour le modèle non intégrable
a été rencontrée
par
de nombreux auteurs dont R. Schrieffer.
Pour les deux modèles nous avons proposé une autre forme de
solution permettant
d'éviter la singularité [4]. Nous avons repris le problème avec C. Ragiadakos
d'Heraklion et montré en considérant la métrique du Lagrangien que
la singularité n'est pas essentielle et peut être levée par
un changement de coordonnées singulier [6]. Ceci rappelle la situation de
la solution de Schwarschild en Relativité générale. Il y a deux
singularités dont une peut être levée par le changement de variable
de Kruskal et l'autre est essentielle et correspond à un trou noir.
Statique et dynamique des jonctions Josephson fenêtre
L'équation de sine-Gordon est un excellent modèle
pour l'electrodynamique d'une jonction Josephson constituée
d'une mince couche d'oxyde entre deux supraconducteurs; ceci a
été illustré par les nombreux travaux des groupes de
Copenhague et Naples au début des années 80. Ces études
se sont concentrées sur le cas où la largeur de la jonction
est négligeable, or des jonctions larges sont trés utiles
comme détecteurs de champs magnétiques ou de particules
rayonnantes. Il est aussi à noter que la plupart de ces dispositifs sont
maintenant
fabriqués en utilisant la technologie des semi-conducteurs
et sont constitués d'une zone où la couche d'oxyde est mince
(fenêtre) où les paires d'électrons peuvent passer
par effet tunnel donnant lieu au courant de Josephson
et une zone passive entourant la fenêtre pour
laquelle la couche d'oxyde est épaisse. Les avantages de cette
géométrie fenêtre sont la non-dégradation de la couche
d'oxyde et aussi la possibilité d'utiliser la zone passive comme
cavité résonnante pour augmenter la puissance de sortie du
dispositif.
Le comportement d'une jonction fenêtre est décrit par
le système d'équations bidimensionnelles pour la phase macroscopique
dans la jonction et 
dans la partie passive
auquel il faut rajouter les conditions de continuité de la phase et du gradient normal (le courant) au niveau de l'interface.
Les conditions aux limites sur le bord du domaine sont de type Neuman et correspondent à un courant ou un champ magnétique extérieur appliqué au dispositif. Du point de vue mécanique, ce système d'équations décrit des ondes élastiques dans un réseau atomique bi-dimensionnel où le potentiel du substrat n'est présent que dans la fenêtre. La condition de continuité porte alors sur la contrainte normale à l'interface.
Nous avons d'abord cherché
les solutions statiques du problème qui devient alors elliptique
semi-linéaire. Une étude numérique basée sur une itération
fonctionnelle de Picard ou Newton utilisant l'infrastructure
ELLPACK [9] spécialement adaptée
aux problèmes elliptiques, a permis de développer et valider un
modèle simple destiné aux expérimentateurs [7,9,11] montrant
que la longueur caractéristique augmentait
avec la taille de la zone passive. Ce modèle a permis de prédire
certains effets observés dans les expériences de Ustinov (Erlangen)
comme l'absence de fluxon lorsque la largeur de la zone passive est
importante [7,26]. Récemment avec Kurin de Nijny-Novgorod (contrat INTAS)
nous avons pu justifier ce modèle en ramenant les deux équations
citées plus haut à une équation integro-differentielle, on peut alors
donner le courant maximum pour une solution statique en fonction du champ
magnétique appliqué en adaptant ce modèle [15].
L'étude dynamique réalisée avec A. Benabdallah á
la fois dans un cas 1D et 2D est bien avancée, elle
a fait partie de la thèse de celui-ci (souteniue en Mai 1999).
Deux publications sont en cours de rédaction.
Le problème statique est mal posé de part la
périodicité de la non-linéarité et les conditions
de Neuman et les bornes elliptiques standard du
gradient (Agmon Douglis) ne peuvent être appliquées.
Avec Vavalis et Tersenov d'Heraklion nous avons donné
des estimations sur les solutions [30] par une méthode dite
de la variable auxiliaire (Kruzkhov). Nous avons aussi
montré l'existence des solutions, et démontré
la convergence de la méthode itérative utilisée [30].
Actuellement nous travaillons à raffiner ces estimations
afin qu'elles reflètent la taille de la jonction.
D'autre part l'itération de Newton présente des instabilités
à certains points de l'espace des paramètres; nous espérons
éclaircir cela par une étude de bifurcations.
Méthode ``split-mode''
Avec Gaididei de Kiev, nous avons
résolu le problème de sine-Gordon statique pour une jonction large
en utilisant une décomposition à la Yanenko faisant intervenir
la solution du problème unidimensionnel associé et un résidu
que l'on décompose sur des modes transverses.
Cette décomposition peut être faite sur des
modes ``cosinus'' (conditions de Neuman homogènes) ou
les modes ``propres'' du problème. Cette approche a permis de valider
par comparaison avec la résolution du problème bi-dimensionnel le
modèle unidimensionnel utilisé par les expérimentateurs et d'obtenir
une bonne description pour des largeurs 
à l'aide d'un seul
mode de Fourier [11]. Cette méthode originale est d'une complexité
bien moindre que celle du calcul 2D et nous avons
observé une convergence plus rapide pour le développement utilisant les
modes propres par rapport aux modes de Fourier [14].
Modélisation d'un résonnateur
Un problème important pour les applications micro-ondes des jonctions Josephson est d'augmenter la puissance de sortie de ces résonnateurs ainsi que de diminuer leur largeur spectrale. Avec Scott (Dep. Mathématiques, Université d'Arizona) nous avons inventé un nouveau mode d'opération dans lequel le courant est appliqué à une seule extrémité et la jonction a une forme exponentielle [12]. On obtient ainsi un canon à solitons dont la fréquence est modulée par le courant d'injection. Ce dispositif est beaucoup plus stable que son analogue rectangulaire comme nous l'avons montré avec A. Benabdallah (étudiant en thèse) par l'étude de l'espace des paramètres de cet oscillateur. Nous avons aussi proposé un modèle simple pour son fonctionnement, l'ensemble a donné lieu à une prsentation dans une conférence internationale au Danemark en Juin 1997 et est rassemblé dans un article long qui paraitra à Journal of Appl. Physics en 2000 [20]. D'autre part Villegiers du CEA à Grenoble souhaite réaliser pratiquement ce dispositif.