Résumé de la thèse de Nicolas Forcadel
Le travail de ma thèse porte sur la
modélisation, l'analyse et l'analyse numérique de la
dynamique des dislocations ainsi que sur les liens très forts
qui existent avec les mouvements de type mouvement par courbure
moyenne. Les dislocations sont des défauts linéaires qui
se déplacent dans les cristaux lorsque ceux-ci sont soumis
à des contraintes extérieures. D'une manière
générale, la dynamique d'une ligne de dislocation est
décrite par une équation eikonale où la vitesse
dépend de manière non locale de l'ensemble de la ligne.
Il est également possible d'ajouter un terme de courbure moyenne
dans la modélisation.
La première partie de mon mémoire
est consacrée aux propriétés qualitatives de la
dynamique d'une ligne de dislocation (existence, unicité,
comportement asymptotique...). Cette étude repose en grande
partie sur la théorie des solutions de viscosité. On
propose également plusieurs schémas numériques
pour cette dynamique et on montre leur convergence ainsi que des
estimations d'erreurs entre la solution et son approximation
numérique.
Dans une seconde partie nous faisons le lien entre
la dynamique d'un nombre fini de dislocations et la dynamique de
densité de dislocations en montrant des
résultats d'homogénéisation. Nous étudions
également, de manière théorique et
numérique, un modèle pour la dynamique de densité
de dislocations.