Ce mémoire présente mes travaux de recherches effectués depuis le début de ma thèse, entre 2004 et 2011. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non linéaires, les problèmes d'évolutions de fronts, le contrôle optimal ainsi que les méthodes numériques pour résoudre ces problèmes. Il est découpé en trois chapitres.

Le premier chapitre est consacré à l'étude de la dynamique de lignes de dislocations. On étudie les propriétés qualitatives (existence, unicité, comportement asymptotique,...) pour différents modèles. On regarde également des problèmes d'homogénéisation qui permettent de faire le lien entre la dynamique de plusieurs lignes de dislocations et la dynamique de densité de dislocations. Enfin, on présente quelques schémas numériques.

Le deuxième chapitre étudie des problèmes de contrôle optimal avec contraintes sur l'état. On s'intéresse particulièrement au cas où l'on ne fait pas d'hypothèse de qualification sur le bord des contraintes et on explique comment caractériser la fonction valeur dans ce cas.

Enfin le troisième et dernier chapitre concerne la méthode Fast Marching introduite par Sethian. On propose une généralisation de cette méthode au cas non stationnaire en démontrant sa convergence. Plusieurs applications de cette méthode sont également présentées.