Le caractère varié de mon public a renforcé l'aspect pluridisciplinaire de mon enseignement et l'a rendu proche des applications. C'est ainsi que j'utilise de nombreux ouvrages anglo-saxons, très pratiques par tradition.
Enfin beaucoup de mes cours, TD et TP font intervenir des logiciels pour le calcul scientifique : Fortran, Matlab, Femlab. J'utilise ces logiciels aussi dans ma recherche ce qui m'a permis de développer un bon savoir faire.
J'enseigne aux etudiants à isoler un petit paramètre sur un problème et leur montre sur des équations algebriques comment calculer la solution à partir de celle du probleme non perturbé. Apres avoir illustré la methode pour le spectre d'une matrice j'aborde le cas des equations differentielles et aux derivees partielles.
Bibliographie:
- C.C. Lin et L. A. Segel, Mathematics applied to deterministic problems
in the natural sciences, 1995, Siam
- L.A. Segel, Mathematics applied to continuum mechanics, Dover 1987
- K Bender et S Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and
engineers, Mcgraw Hill, 1978
- A. Nayfeh et B. Mook, Nonlinear oscillations, Wiley, 1983
- A. Nayfeh, Perturbation methods, Wiley, 1981.
On presente un panorama des problemes inverses et leur application aux
equations d'ondes non lineaires
1. Problemes inverses en diffusion
Notion de diffusion, probleme de diffusion direct et inverse
Methode de diffusion inverse pour resoudre l'equation aux derivees
partielles de Korteweg de Vries
Le probleme "Stimulated Raman scattering": validation numerique
2. Autres problemes inverses:
Probleme inverse de la chaleur en 1D
Estimation de la permittivite pour une equation d'ondes: application
au calcul de la reflectivite d'un miroir a rayons X
Techniques de regularisation
3. Equations d'ondes non lineaires
Cas integrable: approche par la theorie de la diffusion inverse
Methode variationnelle: Lagrangiens et Hamiltoniens en dimension
finie. Densite Lagrangienne et Hamiltonienne pour des equations
aux derivees partielles.
exemples: sine-Gordon (jonctions Josephson), Schrodinger non lineaire
(lasers en fibre)
Influence de la geometrie: reduction d'un probleme 2D a un probleme
1D effectif.
Bibliographie:
- A. C. Scott, Nonlinear Science, Oxford University Press, (1999).
- P. C. Sabatier, The past and future of Inverse Problems, J. of
Math. Phys., (2000).
- A. Benabdallah, JG Caputo et A.C. Scott, J. of Applied Phys. 88,3527,
(2000).
- J.G. Caputo, N. Flytzanis et M. P. Soerensen, Journ. of the Opt. Soc.
of America B , 12, 139, (1995).
- M. Boiti, JG Caputo, J. Leon et F. Pempinelli, Inverse Problems
, 16, 303, (2000).
Dans cet enseignement on familiarise les etudiants avec la
programmation en Fortran en insistant sur l'importance d'un bon
algorithme et d'une methodologie dans l'ecriture, la compilation
et l'execution. Outre la syntaxe Fortran (77 et 90),
je donne les principales commandes Unix et leurs groupements,
le compilateur f77 et ses options, la compilation automatique
avec ``make'' et le debugger ``dbx'', ainsi que les associations
Fortran-C. Enfin j'introduis la programmation sous Matlab.
Ce cours a ete repris en 1997 pour les etudiants du
Departement de Genie Mathematique.
Bibliographie:
- M. Loukides, ``Unix for fortran programmers'', O'Reilly and Associates (1990)
- B. Kernighan et R. Pike, ``The Unix programming environement'', Prentice
Hall, (1984)
- P. Lignelet, ``Fortran'' et ``Pratique du fortran 77'', Masson,
(1988).
- C. Delannoy, Programmer en fortran 90, Eyrolles, (1998).
Le but de cet enseignement est de présenter des méthodes d'analyse numérique par le calcul sur des exemples précis. Nous avons ainsi donné des notions sur l'interpolation, l'approximation, la résolution de systèmes linéaires (méthodes de Gauss, LU, méthodes itératives), stabilité d'un point fixe d'une itération, calculs de valeurs propres extrémales et vecteurs propres, résolution d'équations non-linéaires (méthodes de Newton, bisection) , méthodes d'intégration d'équations différentielles ordinaires de Runge-Kutta, predicteurs correcteurs. La programmation a été faite en Fortran et Matlab.
Bibliographie:
- P. Lignelet, ``Fortran'' et ``Pratique du fortran 77'', Masson,
(1988).
- G. Dahlquist, A. Bjorck, ``Numerical methods'',
Prentice Hall, (1974).
- W. Press , B. Flanery, S. Teukolsky and W. Vetterling,
``Numerical recipes'', Cambridge University Press, (1986).
- P. Ciarlet, ``Introduction à l'analyse numérique matricielle
et l'optimisation'', Masson, (1988).
Classification des équations aux dérivées partielles du second ordre, caractéristiques et méthodes de résolution associées, équation de Burgers (notions de chocs), méthodes de différences finies explicites et implicites, conditions de stabilité et de consistance.
Bibliographie:
- E. Zauderer ``Partial differential equations of applied mathematics''
, Wiley, (1983) .
- G. Smith, ``Numerical solutions of partial differential equations:
finite difference methods'', (1985).
- A partir d'un exemple donné par Lalanne, j'ai réalisé
un simulateur pour étudier les modes propres de
vibration d'une poutre.
- J'ai conçu et réalisé un simulateur pour
étudier les vibrations d'un modèle de cristal anharmonique.
On peut faire varier la non-linéarité du couplage entre les atomes
et montrer que l'on passe d'un régime où l'énergie
est localisée dans un mode à un comportement quasi-periodique.
Les étudiants sont invités à étudier la limite continue
du modèle.
- J'ai conçu et réalisé avec un technicien un montage de
pendule forcé paramétriquement. Ce montage permet une
étude des différentes fenêtres de résonance et de leur
largeur. En outre on étudie l'invariant adiabatique
(action) associé au pendule afin de montrer aux étudiants
l'utilité de la description Hamiltonienne. Ce travail
expérimental est couplé à une simulation numérique pour
pouvoir comparer les résultats.
Bibliographie:
- Lalanne, ``Ondes et vibrations'', Masson, (1986) .
- Roseau, ``Vibration des systèmes mécaniques'', Masson, (1984).
- L. Landau et E. Lifchitz, ``Mécanique'', Mir, (1969) .
- V. Arnold, ``Equations différentielles'', vol. 1, Mir,
(1974) .
Dans ce Cours de spécialité on étudie les méthodes d'Analyse
locale des équations différentielles ainsi que des itérations
non linéaires. Je présente aussi le formalisme Hamiltonien
ainsi que les méthodes de perturbation régulières et singulières.
Enfin je donne des notions sur les équations aux dérivées partielles
non linéaires intégrables. La démarche du Cours est d'insister sur
l'aspect géométrique et le calcul.
La première partie de ce Cours a été
reprise en 1995 avec J. P. Gauthier et W. Respondek pour un
Cours d'équations différentielles en 4 ème année.
Bibliographie:
- V. Arnold, ``Equations différentielles'', vol. 1 et 2, Mir,
(1974).
- V. Arnold, ``Méthodes mathématiques de la mécanique celeste'',
Mir, (1976).
- J. Guckenheimer et P. Holmes, ``Non linear oscillations, dynamical
systems and bifurcations of vector fields'', Springer (1983).
- M. Tabor, ``Chaos and integrability in non-linear dynamics'', J.
Wiley, (1989).
- C. Bender et S. Orszag, ``Advanced mathematical methods for
scientists and engineers'', McGraw-Hill, (1978).
- P. Drazin, ``Introduction to soliton theory'', Cambridge
University Press, (1994).
Ce cours a débuté comme un enseignement de culture générale, Borghi traitant d'éléments de Mécanique et moi présentant l'Électromagnétisme et la Quantique, avec des films et démonstrations. De 1994 à 1996 j'ai repris cet enseignement en y adjoignant des tds. Dans cette refonte je présente en insistant sur des exemples physiques l'analyse dimensionnelle, les trois grandes classes d'équations aux dérivées partielles, les méthodes classiques de résolution du cas linéaire à coefficients constants ( caractéristiques, séparation des variables, fonctions de Green) et je finis par la Mécanique Lagrangienne. Les idées directrices sont: le raisonnement qualitatif, les méthodes de résolution et les symétries.
Bibliographie:
- Vladimirov, ``Equations de la physique mathématique'', Mcgraw-Hill, (1978).
- E. Zauderer ``Partial differential equations of applied mathematics''
, Wiley, (1983) .
- Tikhonov et Samarski ``Equations of mathematical physics'', Dover, (1990)
- R. Feynman, ``Cours de Physique'', Addison Wesley, (1970).
- J. M. Levy Leblond et F. Balibar, ``Quantique'', Editions du
CNRS, (1984).
- L. Landau et E. Lifchitz, ``Cours de physique théorique'', Mir.
Rappels d'analyse ( suites, séries), Fonctions de la variable complexe, fonctions analytiques, singularités, séries de Taylor et Laurent, résidus et applications, transformée de Fourier, partie principale d'une intégrale, notions de distributions, séries de Fourier, éléments d'analyse numérique matricielle.
Bibliographie:
- G. Arfken, ``Mathematical methods for physicists'', Academic
Press, (1984).
- D. Hildebrand, ``Advanced calculus for applications'', Prentice
Hall, (1976).